सिद्ध कीजिए कि $\sum\limits_{r = 0}^n {{3^r}{\,^n}{C_r} = {4^n}} $
सिद्ध कीजिए कि $\sum\limits_{r = 0}^n {{3^r}{\,^n}{C_r} = {4^n}} $
By Binomial Theorem,
$\sum\limits_{r = 0}^n {{\,^n}{C_r}{a^{n - r}}{b^r} = {{\left( {a + b} \right)}^n}} $
By putting $b=3$ and $a=1$ in the above equation, we obtain
$\sum\limits_{r = 0}^n {{\,^n}{C_r}{{\left( 1 \right)}^{n - r}}{{\left( 3 \right)}^r} = {{\left( {1 + 3} \right)}^n}} $
$ \Rightarrow \sum\limits_{r = 0}^n {{3^r}{\,^n}{C_r} = {4^n}} $
Hence proved.
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${\left( {\sqrt 3 + \sqrt[8]{5}} \right)^{256}}$ के विस्तार में पूर्णांक पदों की संख्या होगी
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- [AIEEE 2003]
${\left( {2{x^2} - \frac{1}{x}} \right)^{12}}$ के प्रसार में $x$ से स्वतंत्र पद होगा
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${(x + a)^n}$ के विस्तार में दूसरा, तीसरा तथा चौथा पद क्रमश: $240, 720$ और $1080$ हैं, तो $n$ का मान होगा
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यदि द्विपद ${\left[ {\sqrt {{2^{\log (10 - {3^x})}}} + \sqrt[5]{{{2^{(x - 2)\log 3}}}}} \right]^m}$ के प्रसार में $6$ वां पद $21$ के बराबर है तथा यह ज्ञात है कि प्रसार में दूसरे, तीसरे तथा चौथे पदों के द्विपद गुणांक क्रमश: समान्तर श्रेणी के प्रथम, तृतीय तथा पंचम पद हैं. (संकेत $log$ आधार $10$ के सापेक्ष लघुगणक के लिये प्रयुक्त है), तब $x = $
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